Решать тригонометрические уравнения

Учебный запрос: «Реши 2sin²x − sin x − 1 = 0 на [0; 2π]». При t = sin x получаем t = 1 или t = −1/2; оба значения допустимы. На указанном отрезке корни: π/2, 7π/6 и 11π/6. Попросите показать переход от каждого значения t к углам, чтобы ответ не выглядел случайным списком.

Алгебраическое уравнение для новой переменной может дать значение за пределами от −1 до 1. Для синуса и косинуса оно недопустимо и не порождает углов. Если эту проверку пропустить, появляются вымышленные серии. Записывайте ограничение рядом с заменой заранее. Это помогает понять, почему часть алгебраических корней отбрасывается, хотя само вычисление дискриминанта было правильным.

Перед делением на sin x, cos x или другое выражение отдельно рассмотрите его нулевые значения. Иначе можно удалить целую группу решений. Попросите модель отмечать каждое действие, которое требует ограничения. Подстановка найденных углов подтверждает их пригодность, но не доказывает полноту списка; для полноты нужно проверить все ветви решения и случаи, исключённые преобразованиями.

Для каждой общей серии запишите неравенство с границами и найдите подходящие целые параметры. Проверьте, входят ли концы промежутка и не повторяется ли один угол в разных сериях. Не смешивайте градусы и радианы. Итоговый список удобно расположить по возрастанию и сверить с окружностью; модель может ошибиться в номере четверти, поэтому геометрическая проверка полезна отдельно.