Находить производную функции

Учебный запрос: «Найди производную (2x² + 1)cos x и значение при нуле». Получаем 4x cos x − (2x² + 1)sin x, а y′(0) = 0. Попросите подписать, какое слагаемое возникло при дифференцировании первого множителя, а какое — второго. Так видно, почему производная произведения не равна простому произведению двух производных.

Если вместо cos x стоит cos(3x), производная этого множителя равна −3sin(3x). Тройка появляется из производной внутреннего выражения. Выделите внешнюю функцию и её аргумент отдельной записью. Типичная ошибка — изменить косинус на минус синус, забыв внутренний множитель. Попросите ещё один пример с нелинейным аргументом, чтобы проверить понимание правила, а не запоминание числа 3.

Оно характеризует наклон касательной при существовании производной. Нулевое значение означает горизонтальную касательную, но само по себе не доказывает максимум или минимум. Для такого вывода нужны дополнительные сведения, например изменение знака производной. Попросите разделить вычисленный факт и дальнейшее исследование функции: формула и геометрическая интерпретация связаны, но отвечают на разные вопросы задачи.

Упростите выражение двумя способами, проверьте область определения и подставьте удобную точку. При самостоятельном численном сравнении используйте небольшое приращение и учитывайте приближённость. Чат не выполняет код автоматически и может ошибиться в вычислениях. Совпадение в одной точке не доказывает правильность всей формулы; оно дополняет проверку правил и каждого шага преобразования исходного выражения.